Jan 11, 2026

欧拉乘积公式 (Euler Product Formula)

欧拉乘积公式 (Euler Product Formula) 是数论中的一座宏伟桥梁，它连接了两个看似毫不相关的领域：分析学（研究连续变化和无穷级数的学科）与数论（研究离散整数及其性质的学科）。

具体而言，它揭示了黎曼函数（Riemann Zeta Function）与素数（质数）分布之间的深刻联系。

在欧拉之前，素数被认为是混乱、不可预测的离散数字集合。而无穷级数是分析学中的对象。欧拉乘积公式的核心洞见在于：每一个自然数都可以唯一地分解为素数的乘积（算术基本定理）。

基于这一公理，欧拉证明了所有自然数的倒数幂之和（级数形式），在数学上严格等价于所有素数的特定几何级数之积（乘积形式）。

公式形式： 对于实数：

左边是加法的世界（遍历所有自然数），右边是乘法的世界（遍历所有素数）。这标志着解析数论的诞生：我们可以使用微积分和函数论的工具来挖掘素数的秘密。

为了直观理解这个公式，我们需要建立一个“积木”模型。

想象每一个自然数都是一个乐高模型。素数是不同形状的基础积木块。

欧拉乘积公式实际上是在做一个“逆向工程”。

左边（级数）：不仅包含了积木（素数），还包含了由积木搭成的所有可能的模型（合数）。它是所有自然数的总和。
右边（乘积）：只关注基础积木（素数）。每一项实际上是一个几何级数。这意味着它包含了“不使用该素数”、“使用1个该素数”、“使用2个该素数”等所有可能性。

结论：当你把所有素数的所有可能使用次数乘起来时，你实际上就生成了所有可能的自然数。

为了严谨地理解这一过程，我们重现欧拉当年的推导逻辑（以时的调和级数为例，虽然发散，但逻辑一致；推广到即为）。

设黎曼函数为：

第一步：筛选因子 2

将等式两边乘以：注意，右边现在只包含偶数项（分母含有因子2的项）。

第二步：移除因子 2

用原式减去上式：观察右边：所有偶数项都消失了，只剩下分母为奇数的项（去除了所有含有因子2的数）。

第三步：筛选因子 3

对剩下的式子，乘以下一个素数相关的项：再次做减法，从上一步的结果中减去这一步：此时，分母中所有含有因子2或3的项都被移除了。

第四步：无限迭代

如果我们对所有素数重复此过程，右边最终将只剩下（因为所有的项都会被某个素数筛掉）：

第五步：重组公式

将左边的乘积项移到等式右边：

这就是欧拉乘积公式。

理解欧拉乘积公式不仅仅是学会一个推导，更在于理解它背后的深层含义。

这个公式是黎曼函数研究的起点。黎曼后来将的定义域从实数扩展到了复数平面。通过研究在复平面上的零点分布，数学家们试图解决素数定理（Prime Number Theorem），即素数在自然数中分布的精确规律。没有欧拉乘积公式，这种解析延拓是不可能的。

如果我们从概率角度看，越大，自然数被选中的概率衰减得越快。欧拉乘积公式实际上暗示了不同素数之间的统计独立性。如果把“一个数能被整除”看作一个随机事件，欧拉乘积公式在某种程度上说明了针对不同素数的整除事件是相互独立的。这为概率数论奠定了基础。

现代公钥密码学（如RSA算法）极度依赖于大整数分解的困难性。欧拉乘积公式及其衍生的欧拉函数（Euler’s Totient Function）是理解模运算、密钥生成和加密安全性的基石。

当时，左边是调和级数，它是发散的（趋向无穷大）。右边变成了。既然左边趋向无穷大，右边也必须趋向无穷大。这给出了一个关于素数有无穷多个的全新证明：如果素数只有有限个，右边的乘积将是一个有限数，这与左边的无穷大矛盾。因此，素数必然有无穷多个。

欧拉乘积公式是数学统一性的典范。它告诉我们：通过研究连续函数的性质，我们可以窥探离散素数的秘密。 它是从数论通往分析的第一次伟大的飞跃。